Jos A on m × n -matriisi, niin ATA:lla ja AAT:lla on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot … Siksi Ax on AAT:n ominaisvektori, joka vastaa ominaisarvoa λ. Analogista argumenttia voidaan käyttää osoittamaan, että jokainen AAT:n nollasta poikkeava ominaisarvo on ATA:n ominaisarvo, mikä täydentää todisteen.
Ovatko AAT:n ja ATA:n ominaisarvot samat?
Matriiseilla AAT ja ATA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot. Osio 6.5 osoitti, että näiden symmetristen matriisien ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Onko ATA sama kuin AAT?
Koska AAT ja ATA ovat todella symmetrisiä, ne voidaan diagonalisoida ortogonaalisilla matriiseilla. Edellisestä väitteestä (koska geometriset ja algebralliset kertoimet ovat samat) seuraa, että AAT:lla ja ATA:lla on samat ominaisarvot.
Onko ATA:lla erilliset ominaisarvot?
Totta. Jos esimerkiksi A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , niin ominaisyhtälöllä det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 ei ole toistuvaa juuria. Tästä syystä kaikki A:n ominaisarvot ovat erillisiä ja A on diagonalisoitavissa. 3.35 Jokaisessa todellisessa matriisissa A AtA on aina diagonalisoitavissa.
Voiko eri ominaisvektoreilla olla sama ominaisarvo?
Kaksi erillistä ominaisvektoria, jotka vastaavat samaa Oma-arvoa, ovat aina lineaarisesti riippuvaisia. Kaksi erilaista ominaisarvoa, jotka vastaavat samaa ominaisarvoa, ovat aina lineaarisesti riippuvaisia.
