Esimerkki: Gaussin kokonaislukujen rengas Z on äärellisesti generoitu Z-moduuli, ja Z on noeteerilainen. Edellisen lauseen mukaan Z on Noetherin rengas. Lause: Noetherian renkaiden murto-osien renkaat ovat noeteerilaisia.
Onko Z X Noetherin sormus?
Rengas Z[X, 1 /X] on noeterilainen, koska se on isomorfinen Z[X, Y]/(XY − 1) kanssa.
Miksi Z on noeterilainen?
Mutta Z:ssä on vain äärettömän monta ideaaleja, jotka sisältävät I1:n, koska ne vastaavat Lemman 1.21 äärellisen renkaan Z/(a) ihanteita. Tästä syystä ketju ei voi olla äärettömän pitkä, ja siten Z on noeterilainen.
Mikä on Noether-verkkotunnus?
Jokainen pääideaalirengas, kuten kokonaisluvut, on noeteerilainen koska jokainen ideaali syntyy yhdestä elementistäTämä sisältää tärkeimmät ideaalialueet ja euklidiset alueet. Dedekind-alue (esim. kokonaislukujen renkaat) on Noether-alue, jossa jokainen ihanne syntyy enintään kahdesta elementistä.
Miten todistat, että sormus on noeterialainen?
Lause A rengas R on noeterilainen, jos ja vain jos jokainen R:n ei-tyhjä ihanteiden joukko sisältää maksimaalisen alkion Todistus ⇐=Olkoon I1 ⊆ I2 ⊆··· R:n ihanteiden nouseva ketju. Laita S={I1, I2, …}. Jos jokainen ei-tyhjä ihanteiden joukko sisältää maksimaalisen alkion, niin S sisältää maksimaalisen alkion, sano IN.
