Matematiikassa topologisen avaruuden osajoukkoa ei sanota missään tiheäksi tai harvinaiseksi, jos sen sulkeutumisen sisäpuoli on tyhjä. Hyvin väljässä mielessä se on setti, jonka elementit eivät ole tiiviisti ryhmitelty missään. Esimerkiksi kokonaisluvut eivät ole missään tiheitä todellisten joukossa, kun taas avoin pallo ei ole.
Kuinka todistat, että joukko ei ole missään tiheä?
Alijoukkoa A ⊆ X ei sanota missään tiheäksi kohdassa X, jos A:n sulkemisen sisäpuoli on tyhjä, eli (A)◦=∅. Muuten A ei ole missään tiheä, jos se sisältyy suljettuun joukkoon, jossa on tyhjä sisäpuoli. Komplementeista siirryttäessä voimme sanoa vastaavasti, että A ei ole missään tiheä, jos sen komplementti sisältää tiheän avoimen joukon (miksi?).
Mitä kaikkialla on tiheää?
Topologisen avaruuden X osajoukko A on tiheä, jonka sulkeminen on koko avaruus X (jotkut kirjoittajat käyttävät terminologiaa kaikkialla tiheässä). Yleinen vaihtoehtoinen määritelmä on: joukko A, joka leikkaa X. jokaisen ei-tyhjän avoimen osajoukon.
Eikö 1 N ole missään tiheä?
Esimerkki joukosta, joka ei ole suljettu, mutta joka ei silti ole missään tiheä, on {1n|
∈N}. Sillä on yksi rajapiste, joka ei ole joukossa (eli 0), mutta sen sulkeutuminen ei silti ole missään tiheä, koska yksikään avoin aikaväli ei mahdu {1n|n∈N}∪{0}-alueelle.
Mitä tarkoittaa, jos joukko on tiheä?
Topologiassa ja siihen liittyvissä matematiikan alueilla topologisen avaruuden X osajoukkoa A kutsutaan tiheäksi (X:ssä), jos jokainen X:n piste x kuuluu joko A:lle tai on A:n rajapiste; eli A:n sulkeminen muodostaa koko joukon X.
