Milloin Abelin ryhmä on syklinen?

2024 Kirjoittaja: Fiona Howard | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-10 06:37

Epävirallisesti ryhmä on syklinen jos se on luotu yhdestä elementistä. Se on Abelin, jos kertolasku toimii. Ryhmä on syklinen, jos se voidaan luoda yhdellä elementillä.

Onko Abelin ryhmä syklinen?

Kaikki sykliset ryhmät ovat Abelin, mutta Abelin ryhmä ei välttämättä ole syklinen. Kaikki Abelin ryhmän alaryhmät ovat normaaleja. Abelilaisessa ryhmässä jokainen elementti on konjugaattisessa luokassa itsessään, ja merkkitaulukko sisältää yhden elementin potenssit, jotka tunnetaan ryhmägeneraattorina.

Kuinka todistat Abelin ryhmän olevan syklinen?

Todiste

1. Olkoon G syklinen ryhmä, jolla on generaattori g∈G. Meillä on nimittäin G=⟨g⟩ (jokainen G:n elementti on g:n jokin potenssi.)
2. Olkoot a ja b mieliv altaisia elementtejä G:ssä. Silloin on olemassa n, m∈Z siten, että a=gn ja b=gm.
3. Tästä saadaan ab=ba mieliv altaiselle a:lle, b∈G. G on siis Abelin ryhmä.

Mistä tiedät, onko ryhmä syklinen?

4 Vastauksia. Äärillinen ryhmä on syklinen, jos ja vain jos sillä on täsmälleen yksi alaryhmä jokaisesta järjestyksensä jakajasta. Joten jos löydät kaksi saman järjestyksen alaryhmää, ryhmä ei ole syklinen, ja se voi joskus auttaa.

Mitä on syklinen ryhmäselitys esimerkillä?

Esimerkiksi (Z/6Z)^×={1, 5} , ja koska 6 on kaksi kertaa pariton alkuluku, tämä on syklinen ryhmä. … Kun (Z/nZ)^× on syklinen, sen generaattoreita kutsutaan primitiivisiksi juuriksi modulo n. Alkuluvulle p ryhmä (Z/pZ)^{× on aina syklinen, ja se koostuu kertaluvun p äärellisen kentän nollasta poikkeavista alkioista.}