Ortonormaalin perustan erikoisuus on, että se saa nämä kaksi viimeistä yhtäläisyyttä pätemään. Ortonormaalilla pohjalla koordinaattiesityksillä on sama pituus kuin alkuperäisillä vektoreilla, ja ne muodostavat samat kulmat keskenään.
Mitä hyötyä ortonormaalista on?
Nämä ovat juuri niitä muunnoksia, jotka säilyttävät sisätuotteen, ja niitä kutsutaan ortogonaalisiksi muunnoksiksi. Yleensä kun tarvitaan perustetta laskelmien tekemiseen, on kätevää käyttää ortonormaalia perustetta. Esimerkiksi vektoriavaruusprojektion kaava on paljon yksinkertaisempi ortonormaalilla pohjalla.
Ovatko ortonormaalit pohjat ainutlaatuisia?
Joten ortonormaalit kannat eivät ole ainutlaatuisia, niitä on yleensä äärettömän paljon.
Mihin tarvitsemme ortogonaalista matriisia?
Lineaarisena muunnoksena ortogonaalinen matriisi säilyttää vektorien sisätulon ja toimii siksi euklidisen avaruuden isometriana, kuten kiertona, heijastuksena tai rotoheijastuksena. Toisin sanoen se on unitaarinen muunnos.
Mitä hyötyä ortogonaalisista vektoreista on?
Proposition Nollasta poikkeavien vektoreiden ortogonaalinen joukko on lineaarisesti riippumaton. Kun otetaan huomioon joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, on usein hyödyllistä muuntaa ne ortonormaaleiksi vektoreiksi. Ensin määritellään projektiooperaattori. Määritelmä.
